轴对称图形基本概念

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本

讲

教

育

信

息

】

荿一、 教学内容：

肆2. 轴对称的性质。

膄3. 线段的垂直平分线的性质及判定

螀4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线

薈5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。

薄

莃（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形

重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后

重合的点是对应点，叫做对称点。

莈

莃区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个

个图形说的。

莃联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看

别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

蝿（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做

这条线段的垂直平分线。

膆

莆2. 轴对称的性质：

蒃（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
膀（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

膅

薃

薁3. 线段的垂直平分线的性质及判定

羄如图①，若PC 是线段AB 的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB

羂如图②，若PA＝PB，则点P 在线段AB 的垂直平分线上。

肇

羇4. 尺规作图

螃（1）如何作轴对称图形

线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称

点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 所以作轴对称图形的

关键是作点关于直线的对称点

蝿

螅（2）作线段的垂直平分线

袃① 分别以点A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于C、D 两

点，② 作直线CD。

葿CD 就是线段AB 的垂直平分线。

芇

羃

袀点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（_____，_____）；

罿点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

芃

羂三、 重点难点：

芁1. 重点：①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标
轴对称的点的坐标特点。
莇2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。

芆

蝿

薇分析：每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。 要使两个等边

三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后

的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。

袄解：不是。 有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3 个图的对称轴

最多。

节
膀评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中
的内在规律，这样解题才不盲目。
艿袇例2. 如图所示，C 是线段AB 的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论

中正确的有（ ）

莂 ①AD＝BD； ②AC＝BC； ③∠A＝∠B；

螆 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个

蚆

D. 5 个

蒂分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可

得出②；由△ADC≌△BDC 可得到③和④。

羁解：D

蒈评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全

等等其它问题。

蒄

薂例3. 写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标。

膈（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

袆分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、

纵坐标规律。

膃解：（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x 轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；关于y
薂评析：点关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y 轴对
轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。
蕿

蚈例4. （2007 年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成

形状，折

叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

芆

蚁

羀如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列

问题：

肆（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x 的取

值范围。

羅（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P

（用x 表示）。

螁分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端

x。

莁解：（1）由折纸过程知：0＜5x＜26，∴0＜x＜。

螈（2）∵图④是轴对称图形，
螄∴AM＝＋x＝13－x，即点M 与点A 的距离是（13－x）cm。
图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到
袁评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后
螂

芆例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB 关于直线l 的对称图形。

螇分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如

羁解：（1）画出点A 关于直线l 的对称点A'；

衿（2）画出点B 关于直线l 的对称点B'：

羈（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

薆

肁评析：画已知图形关于某直线的对称图形：①对称轴是对应点连线的垂直平
分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

虿例6. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在

河边什么地方，可使所用水管最短？

莄

膁分析：在河岸l 上找一点C，使AC＋BC 最短，利用轴对称把A 点或B 点变

换到l 的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使

问题得到解决。

蚀解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

膇（1）作点B 关于直线l 的对称点

，

膁点C 就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）肃（2）连结，交直线l 于点C，

衿评析：此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，

连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。 依据是利用垂直平分线

性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。

膆

芁【方法总结】

芈本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。 在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。 在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。

芇

袅【模拟试题】（答题时间：40 分钟）

莀一、 选择题

（ ）

聿A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合

肀D. 线段是轴对称图形

蒇2. 轴对称图形的对称轴是
（ ）

蒁A. （0，10）与（0，－10） B. （－3，－2）与（3，－2）

蒆*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

袄A. 一条线段 B. 两条相交直线

袂C. 有公共端点的两条相等的线段 D. 有公共端点的两条不相等的线

段
蚇5. （2007 年河南）如图，ΔABC 与ΔA'B'C'关于直线l 对称，则∠B 的度数
为 （ ）

D. 100°

羄

莈

罿6. （2008 年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）

肃*7. （2008 年武汉）如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是
肄A. 150° B. 300° C. 210°
它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD 的大小是 （ ）

荿

袆**8. （2008 年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1 与直线l2 相交，∠α

肆A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

膄

螀二、 填空题

羆（3）两组对应角__________和__________。

薄

蚈

莈*12.（2007 年四川内江）已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x 轴
莃11. 点A（－5，－6）与点B（5，－6）关于__________对称。

蝿

莃13. 画出下列各图形的所有对称轴。

莆

膅如图所示，求作一点P，使PC＝PD，且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等。
薃
薁**16. 如图所示，△ABC 中，DE 垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD 的周长为

莅

羂17. 观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？你是如何验证的？

肇

羇**18. 如图，草原上两个居民点A、B 在河流l 的同侧，一辆汽车从A 出发到

B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

螃

肈

蝿

螅【试题答案】

罿11. y 轴 12. 3，－4
薁三、 解答题

羅

袄14. 如图所示：
蚀
羆15. （1）①这条线段的垂直平分线；②这个角的平分线。①连结CD，②
作线段CD 的垂直平分线a，③作∠AOB 的平分线OM，OM 交a 于点P。 点P 就是
所求作的点。

＝CA＋CD＋AD＝CA＋CD＋DB＝17cm，∴△ABC 的周长＝17＋10＝27cm。

莇17. 将这些图形分别沿图中的虚线对折，如果折叠后两边能够完全重合，那

的对称轴。

，②连结

，交直线l 于

肅18. 如图所示，①作点B 关于直线l 的对称点